Sobre la ley de enfriamiento de Newton

Esta ley es muy útil para definir la manera en la que la temperatura de un objeto cambia con respecto al tiempo, la utilidad de esta ley radica, además, en que en cierto sentido se toma en cuenta el material especifico del que esta hecho cada objeto. Resolveremos un problema para dejar en claro la manera en la que se utiliza esta ley. 

Antes de resolver el problema, sería útil definir el origen de esta ley. La ley tiene como origen una ecuación diferencial, por lo que si no tienes conocimiento sobre la manera en la que funciona una ecuación diferencial, es una buena idea que visites la entrada dedicada a darles explicación en el menú "calculo y matemáticas". 

En realidad es un principio bastante sencillo. Como seguramente te habrás dado cuenta, cuando dos objetos entran en contacto, a saber, el aire y cualquier objeto, el calor fluye desde el objeto que contiene más energía hacia el que contiene menos, hasta que ambos llegan a un estado de equilibrio, tomando en cuenta lo anterior, es posible plantear la siguiente ecuación. 

"T" representa la temperatura, "t" representa el tiempo, y "TA" representa la temperatura del medio ambiente en la que el objeto se encuentra. Observa que la ecuación indica que el cambio en la temperatura de un objeto "dT/dt" es cero cuando un objeto esta a la misma temperatura que el medio ambiente circundante. 

Si despejamos la ecuación anterior para obtener el cambio de la temperatura en el tiempo "dT" obtenemos la siguiente expresión 

Observa que la constante "k" fue agregada con la intención de tomar en cuenta los diferentes grados de conductividad térmica de un objeto dependiendo del material del que esta hecho. Así, si un objeto teórico tuviera una conductividad perfecta "k" sería igual a uno, sin embargo eso es imposible, por lo que "k" siempre es un número muy pequeño. Más adelante descubriremos que al resolver la ecuación diferencial el valor de "k" siempre resultara ser negativo. 

Al integrar la ecuación en ambos lados obtenemos lo que sigue 

Si despejamos la ultima ecuación, podemos obtener la temperatura de un objeto en cualquier momento 

No hay mejor manera de aprender la manera en la que funciona la ley que acabamos de definir que con un problema.

1.- Un termómetro se saca de una habitación donde la temperatura es de 70º C y es llevado a otra en la que la temperatura es de tan solo 10º C. Después de medio minuto el termómetro marca una temperatura de 50º C. ¿Cual es la temperatura del termómetro después de un minuto? 

Solución 

Observa que el único obstáculo que tenemos para solucionar el problema es obtener el valor de la constante "k". Para ello utilizaremos el valor de la condición inicial que nos proporciona el problema, la cual dice que pasados treinta segundos (medio minuto) el termómetro marca 50º C. Para hacerlo, es útil saber que el valor de la constante "C" siempre es igual la diferencia entre "T0" y "TA" (donde T0 es la temperatura inicial del objeto, para nuestro problema el valor de T0 es igual a 70º C).

Una vez que hemos obtenido el valor de k, solamente debemos sustituir el valor del tiempo de interés en la ecuación inicial para obtener nuestra respuesta. En este caso nos interesa saber la temperatura del termómetro pasado un minuto, sustituyendo obtenemos

Obtenemos que la temperatura del termómetro pasado un minuto será igual a 36.69º C, observa que esta ley no solo es aplicable a los casos en los que se necesita saber la temperatura en un tiempo determinado, sino que también es posible saber el tiempo que tardara un objeto en llegar a cierta temperatura. 

Sobre el plano, la linea recta, y las dimensiones matemáticas.

El día de hoy decidí darme a la tarea de explicarles un poco acerca de la manera en la que las dimensiones, la recta, el plano, y el espacio, se escriben de forma matemática. No pretenderé ser exhaustivo, lo que pretendo es que cualquier estudiante pueda comprender, de forma simple, los conceptos que aquí explicare, ya que reconozco que mucha de la literatura existente sobre el tema, puede llegar a ser un poco confusa debido a que en ocasiones se utilizan lenguajes demasiado especializados. 

Comenzaremos por el principio, la recta. Para poder construir una recta se necesita, como mínimo, de un espacio de dos dimensiones, al cual se le conoce también como un "plano", puedes imaginar un plano como una hoja en la que solamente existen dos direcciones, una que apunta en dirección "derecha-izquierda" y otra en dirección "arriba-abajo", en el cual no existe una dirección "adelante-atras". 

Una recta no es más que una linea en el plano, sin embargo, puedes imaginarla como un conjunto de puntos, los cuales, al unirse, conforman la recta. Por lo tanto, para definir una ecuación que describa de una recta, necesitamos conocer, por lo menos, la posición de dos de los puntos que forman parte de dicha recta. 

En matemáticas, definimos un punto en el plano indicando su posición en la dirección "derecha-izquierda", y  su dirección "arriba-abajo". Normalmente la dirección "derecha-izquierda" se distingue con la variable "x" mientras que la dirección "arriba-abajo" se distingue con la variable "y".

Así, si se indica que un punto se encuentra en dirección 4x+4y, se te está indicando que dicho punto se encuentra cuatro unidades hacia la derecha y cuatro unidades hacia arriba del origen (El origen es el punto 0x + 0y). En cambio, si se indica que un punto tiene una ubicación -4x-4y, se te esta diciendo que el punto se encuentra cuatro unidades hacia la izquierda y cuatro unidades hacia abajo del origen. 

En algunas representaciones, se evita el uso de las variables "x" y "y", en lugar de eso un punto se define escribiendo entre paréntesis las unidades de distancia en cada dirección, separadas por una coma, que deben ser recorridas para llegar a el. Así, para el punto (4 , 4) el primer numero siempre se refiere a la dirección "izquiera-derecha", mientras que el segundo se refiere a la dirección "arriba-abajo", por lo cual, el punto (4 , 4) es equivalente al primer punto que describimos en el párrafo anterior, mientras que el punto (-4 , -4) es equivalente al segundo. El origen se describiría como el punto (0 , 0). 

Representación gráfica del punto (1 , 1)

Representación gráfica del punto (-1, -1)

Ahora bien, para representar una recta en el plano debemos plantear una ecuación que describa la manera en la que esta se desarrolla. Observa que la única diferencia entre una recta y otra, cualesquiera, es su pendiente. La pendiente de una recta es un numero que define la cantidad de unidades en "y" que se deben recorrer sobre la recta para poder avanzar una unidad de "x". 

Tomemos en cuenta la recta que se describe en la imagen de arriba. Para que la recta pueda avanzar una unidad en "x" debe avanzar 2 unidades en "y", por lo tanto su pendiente es la division de las unidades que deben ser recorridas en "y" por unidad de "x", 2/1=1, por lo tanto la recta de la imagen tiene una pendiente de 2.

En ocasiones las unidades recorridas en "y" por cada unidad de "x" no son tan claras como en la imagen anterior, por lo que se hace uso de la siguiente formula matemática

Donde "m" representa la pendiente de una recta que pasa por dos puntos específicos en "y" y 2 puntos específicos en "x". Observa que la resta de y2-y1 define la distancia en la dirección "arriba-abajo" comprendida entre el punto "y2" y "y1". La parte de abajo de la division hace lo propio en la dirección "derecha-izquierda". Al dividir ambas magnitudes, se obtiene una proporción de las unidades que deben ser recorridas en "y" por cada unidad recorrida en "x". Cabe aclarar que no importa el orden en el cual se resten "y2" y "y1" o "x2" y "x1", el resultado siempre será 

Con lo que hemos aprendido hasta ahora, ya estamos listos para definir la ecuación de un recta cualquiera, y lo haremos utilizando una variación de la ecuación anterior. 

Para poder definir la ecuación de una linea recta, las variables "y" y "x" deben quedarse tal como están, mientras que las variables "x1" y "y1" deben ser sustituidas por cualquiera de los puntos existentes en la linea recta. La variable "m" representa la pendiente de la recta. 

Con el objetivo de aplicar todo el conocimiento que hemos acumulado hasta ahora, procederemos a resolver un pequeño problema. Definiremos la ecuación de la recta que pasa por los puntos (5 , 4) y (-3 , 2).

Solución. 

Lo primero por hacer es definir la pendiente que describe a una recta que pasa por ambos puntos

El siguiente paso es construir la ecuación de la recta, lo cual se lleva a cabo de la manera siguiente. Para ello, podemos usar cualquiera de los dos puntos iniciales proporcionados por el problema, para nuestro problema utilizaremos el punto (5 , 4), obteniendo 

Observa que el numero que acompaña a la variable "x" siempre es numéricamente igual al valor de la pendiente, mientras que el valor de la constante, en este caso 11/4, es el punto donde la recta toca el eje de las "y". 

Representación gráfica de la ecuación y=(1/4) x + 11/4

   

¿Como definimos la distancia entre dos puntos en el plano? En realidad es un asunto bastante sencillo si seguimos la siguiente formula 

Observa que esta formula proviene del teorema de Pitágoras, el cual dice que la raíz cuadrada de la sumatoria de los cuadrados de los catetos es igual a la hipotenusa. En la ecuación anterior x2-x1 representa el largo de uno de los catetos, mientras que y2-y1 representa el largo del cateto restante, por lo tanto se puede suponer que la distancia entre los 2 puntos es igual a la hipotenusa del triángulo. Así, la distancia entre los puntos del problema anterior quedaría de la siguiente manera

Toma en cuenta que las proporciones del problema anterior no solo son aplicables a problemas de distancia, sino que también pueden representar las componentes de la fuerza aplicada sobre una partícula, solo por dar un ejemplo. Las aplicaciones para esta clase de modelos son variadas. En la representación anterior obtuvimos que la distancia entre los dos puntos planteados es de 8.24 unidades.

Todo esto suena fabuloso, sin embargo, es posible que te estes preguntando ¿Cual es su utilidad? 

En esta entrada solo hemos sentado las bases sobre el trabajo en planos bidimensionales, en entradas posteriores aprenderemos más sobre el uso y las aplicaciones de los vectores tanto en dos dimensiones como en tres dimensiones. Tendrás que esperar un poco para llegar a dichas entradas.

Ejemplo de solución de un sistema de ecuaciones por el método de Gauss simple.

El día de hoy les explicaré un poco acerca del método de solución de un sistema de ecuaciones a través del método de Gauss simple, este método simplifica y sistematiza el proceso de solución de un sistema de ecuaciones de cualquier tamaño a través del uso de matrices, convirtiendo el proceso de solución de un sistema de ecuaciones en algo, más que difícil, laborioso. Por lo anterior este método es muy utilizado en el campo de la programación (Si deseas implementar el código en MATLAB, visita nuestra entrada en donde te proporciono dicho código).

Uno de los principales problemas que se encuentran al intentar resolver un sistema de ecuaciones a través de matrices es la division entre cero, cuando eso pasa el sistema colapsa. El presente método es incapaz de resolver dicho problema, por lo cual se le llama método de Gauss "simple". Existen otros métodos capaces de resolver dicho problema, los cuales, probablemente, serán abordados en futuras entradas. 

Para empezar, es necesario explicar una propiedad fundamental de las matrices y, en realidad, en cierta forma, también de los sistemas de ecuaciones. La regla dice

- Cualquier fila de la matriz puede ser reemplazada por el resultado de restar, o sumar, a la misma una operación con características similares. Tomemos en cuenta la siguiente matriz. 

NOTA: Observa que el primer numero que acompaña al coeficiente "a" se refiere al número de fila, mientras que el segundo se refiere al número de columna. Así el subíndice a11 se refiere a un número que se encuentra en la primera fila y la primera columna. 

Ahora, restemos a la ecuación de la fila 1 la ecuación de la fila 2. El nuevo sistema de ecuaciones quedaría como sigue. Nota que ambos sistemas de ecuaciones son equivalentes.

El principio anteriormente expuesto puede ser utilizado para que el sistema de ecuaciones sea mucho más sencillo de resolver, y, de hecho, es el mismo principio utilizado por el método de Gauss simple. 

El método se lleva a cabo de la siguiente manera.  Consideremos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

 El objetivo de del método es reducir el conjunto de ecuaciones a un sistema triangular, para lograrlo debemos multiplicar la ecuación 1 por (a21/a11), para obtener

El siguiente paso consiste en restar la ecuación que acabamos de obtener a la ecuación número dos. Se obtiene lo siguiente 

Un vez hecho lo anterior, es fácil despejar el valor de x2.

Con el valor de x2, posteriormente se debe sustituir en la ecuación uno y despejar para obtener le valor de x1. 

El anterior parece un proceso bastante rebuscado solamente para obtener los valores de un sistema de dos ecuaciones, sin embargo, el valor de este método recae, como veremos a continuación, sobre su capacidad de resolver sistemas grandes sistemas de ecuaciones.

Ejemplo de solución de un sistema de cuatro ecuaciones.

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones.

Por comodidad, representaré el mismo sistema de ecuaciones en forma de una matriz, obteniendo lo siguiente.

Con el objetivo de eliminar la primera variable, debemos multiplicar la primera ecuación por el equivalente a (a21/a11), en este caso corresponde a  (2/1) = 2. Usar una matriz nos permite llevar a cabo el procedimiento por partes, por ejemplo, el primer numero de la primera ecuación es 1, el cual se convierte en 2 al multiplicarlo por (a21/a11), restamos el 2 que acabamos de obtener al primer 2 de la segunda ecuación, lo cual da cero, por lo tanto reemplazaremos el dos por un cero. Para el segundo numero de la ecuación 2, (a21/a11) debe multiplicarse por el segundo numero de la ecuación uno, el resultado es 2, dicho resultado se resta al segundo numero de la ecuación dos (1-2 = -1), por lo que reemplazaremos el 1 por -1. Si continuamos con el resto de la ecuación, el nuevo sistema quedaría como sigue. 

Nuestro objetivo principal es cambiar todos los números de la primera columna de la matriz, excepto los de la primera fila, por cero, para lograrlo aplicaremos el mismo procedimiento que aplicamos anteriormente, pero en lugar de multiplicar los números de la ecuación uno por (a21/a11) lo haremos por (a31/a11). Así obtenemos lo siguiente 

Aplicamos exactamente el mismo procedimiento que el anterior con la ecuación número 4, pero esta vez multiplicamos la ecuación 1 por el equivalente a (a41/a11), obteniendo lo siguiente.

Hemos logrado eliminar la primera columna, lo que haremos a continuación es aplicar el mismo procedimiento que recién hemos realizado, pero esta vez trataremos a la ecuación numero dos como si esta fuera la ecuación numero uno, convertiremos a cero todos los números de la columna número 2 que se encuentren por debajo de la ecuación 2.

En este caso tuvimos la suerte de que en la ultima ecuación, el valor del tercer número fue de cero, si no hubiera sido así habríamos aplicado exactamente el mismo procedimiento que ya conocemos, pero habríamos tomado a la ecuación número 3 como si fuera la ecuación numero uno. 

Nota que el sistema resultante es notablemente fácil de resolver, pues la ultima fila de la matriz equivale a tener la siguiente expresión

De ahí es fácil despejar el valor de x4.

De aquí en adelante lo único que se debe hacer es sustituir el valor de x4 en la ecuación tres y despejar para obtener el valor de x3.  Se hace lo propio con las ecuaciones dos y uno, quedando lo siguiente.

Lo resultados finales son los siguientes. Como lo mencionamos antes, lo ideal es llevar a cabo el procedimiento a través de un lenguaje informático, de lo contrario puede ser algo laborioso. 

Si quieres implementar el código en MATLAB, el código necesario lo encontrarás en la pestaña "Métodos numéricos en MATLAB". 

Algunas funciones útiles para manipular polinomios en MATLAB

El día de hoy les traigo algunas funciones que podrían serles de utilidad para implementar un método numérico en MATLAB.

La siguiente es una lista de funciones incorporadas para manipular polinomios, a menos que se especifique lo contrario, tanto la entrada como la salida de cada función es un vector de coeficientes que definen un polinomio en  potencias descendentes de la variable independiente.

Función	Descripción
conv	Calcular el polinomio resultante del producto de dos polinomios
deconv	Calcular el polinomio resultante de la división de dos polinomios
poly	Crear un polinomio con raíces especificas
polyder	Calcular el polinomio resultante al derivar un polinomio.
polyval	Evaluar un polinomio  en un punto particular de x.
polyvalm	Evaluar una expresión polinómica de una matriz cuadrada A. Las potencias de A son evaluadas como productos matriz-matriz
Polyfit	Calcular los coeficientes de un polinomio , de grado n, que se ajusta a un conjunto de mínimos cuadrados de los datos de  (x , y)
residue	Calcular la expansión de las fracciones parciales del radio de dos polinomios, o, dados los vectores conteniendo los residuos, polos y coeficientes directos, calcula el radio correspondiente de los polinomios.
roots	Encuentra las “n” raíces de un polinomio de grado n.

Ecuaciones diferenciales, el método de variación de parámetros (ejercicio resuelto).

El método de variación de parámetros se utiliza para dar solución únicamente a ecuaciones diferenciales de primer orden (si no sabes como clasificar una ecuación diferencial, visita nuestra entrada en la sección de calculo y matemáticas), este método, además, solo es aplicable a ecuaciones homogéneas, esto significa que solo es aplicable a ecuaciones diferenciales que están igualadas a cero, lo anterior no es una limitante para el método, pues aún si la ecuación no está igualada a cero, es posible hacer el procedimiento mediante algunos arreglos matemáticos.

El modelo general para las ecuaciones en las que se puede aplicar el método es el siguiente 

Cualquier termino de "y" que pudiera estar a la derecha de la igualdad debe ser enviado hacia la izquierda para poder aplicar el método. 

No hay mejor manera de entender un método que a través de su ejemplificación, así que resolveremos la siguiente ecuación mediante el método que aquí intentamos explicar. 

1.- El primer paso del proceso es verificar si la ecuación diferencial es homogénea, en nuestro caso no lo es, por lo tanto deberemos llevar a cabo un proceso denominado homogeneización, el cual consiste, simplemente en sustituir el lado derecho de la igualdad por cero, la ecuación queda como sigue. Si la ecuación ya es homogénea, simplemente se procede al método de integración directa.

2.- La siguiente parte del proceso es aplicar el método de integración directa en la ecuación, lo cual simplemente consiste en despejar la ecuación de manera que las variables "x" y "y" queden el lados contrarios de la igualdad (el método de integración directa se explica en la entrada "Ecuaciones diferenciales"), posteriormente se integra ambos lados de la ecuación, tal como se muestra a continuación.

Nota: Recuerda que -2 ln x= ln (x)^-2, por lo tanto...

3.- El siguiente paso es despejar la ecuación directamente a la variable "y", en este caso cada lado de la ecuación se convierte en el exponente del numero de Euler, con el objetivo de eliminar el logaritmo natural de la parte izquierda. Recuerda que si realizas un cambio en igual en ambos lados de una ecuación, esta permanece inalterada.

A manera de recomendación, recuerda que si se eleva el numero de Euler a la potencia de una constante, se puede considerar que el numero resultante también será una constante, por lo tanto...

Considerando lo anterior, nuestra ecuación quedaría como sigue

Al hacer un pequeño arreglo matemático, la ecuación queda de la siguiente manera

El siguiente paso del procedimiento es muy importante, ya que se debe hacer una proposición, lo cual solamente significa que realizaremos un cambio de variable, o bien, como el nombre del procedimiento lo indica, una variación de parámetros, esto no implica ningún cambio en los valores. Se realiza con el objetivo marcar la diferencia entre los valores que hemos usado hasta ahora, y los que usaremos en los siguientes pasos, en el paso 6 observaras la razón de este cambio. Lo único que debemos hacer es cambiar la variable "c" por la variable "u". La ecuación queda de la manera siguiente

4.- El siguiente paso puede parecer un tanto confuso, pero intentaremos explicarlo de la mejor manera. Una vez que obtuvimos el valor de y, se procede a derivarlo, lo anterior se lleva a cabo debido a que, como se verá en los siguientes pasos, nuestra intención es sustituir los términos de la ecuación uno, por lo tanto, si en la ecuación uno tenemos una derivada, debemos sustituirlo por un valor equivalente, es decir, otra derivada. En el siguiente paso veremos cual es el objetivo de dicha derivación.

Nota: Observa que en las partes en las que se deriva la constante "u", simplemente se agrega el termino u'. Al hacer algunos arreglos matemáticos a la ecuación anterior, la derivada queda como se muestra a continuación.

Se hace la suma de fracciones y se continúan los arreglos.

5.- Una vez que tienen los valores tanto de y como de y', se procede a sustituirlos en la ecuación número uno, lo cual da como resultado la siguiente ecuación 

Al realizar la operación anterior, obtenemos lo siguiente 

- El proceso anterior es muy importante, se deben eliminar todos los términos de "u" quedando solo el termino de " u' ", si esta eliminación no toma lugar significa que hubo un error en el procedimiento, o que la ecuación diferencial no es de primer orden.

El resto del procedimiento es bastante sencillo, se debe despejar el termino " u' ", y se procede a integrar ambos lados de la ecuación, con el objetivo de obtener el valor de "u".

Nota: La constante de integración debe ser ignorada en esta parte del procedimiento 

6.- El siguiente y ultimo paso del proceso consiste en sustituir el valor recién encontrado de "u" en la ultima ecuación que definimos durante el paso número 3, quedando de la siguiente manera.

El valor final de la variable "y", el objetivo del procedimiento, quedaría como se muestra a continuación.

Si deseas saber más sobre las ecuaciones diferenciales, visita nuestra entrada del mismo nombre en la sección "Calculo y matemáticas".