Uno de los principales problemas que se encuentran al intentar resolver un sistema de ecuaciones a través de matrices es la division entre cero, cuando eso pasa el sistema colapsa. El presente método es incapaz de resolver dicho problema, por lo cual se le llama método de Gauss "simple". Existen otros métodos capaces de resolver dicho problema, los cuales, probablemente, serán abordados en futuras entradas.
Para empezar, es necesario explicar una propiedad fundamental de las matrices y, en realidad, en cierta forma, también de los sistemas de ecuaciones. La regla dice
- Cualquier fila de la matriz puede ser reemplazada por el resultado de restar, o sumar, a la misma una operación con características similares. Tomemos en cuenta la siguiente matriz.
NOTA: Observa que el primer numero que acompaña al coeficiente "a" se refiere al número de fila, mientras que el segundo se refiere al número de columna. Así el subíndice a11 se refiere a un número que se encuentra en la primera fila y la primera columna.
Ahora, restemos a la ecuación de la fila 1 la ecuación de la fila 2. El nuevo sistema de ecuaciones quedaría como sigue. Nota que ambos sistemas de ecuaciones son equivalentes.
El principio anteriormente expuesto puede ser utilizado para que el sistema de ecuaciones sea mucho más sencillo de resolver, y, de hecho, es el mismo principio utilizado por el método de Gauss simple.
El método se lleva a cabo de la siguiente manera. Consideremos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
El objetivo de del método es reducir el conjunto de ecuaciones a un sistema triangular, para lograrlo debemos multiplicar la ecuación 1 por (a21/a11), para obtener
El siguiente paso consiste en restar la ecuación que acabamos de obtener a la ecuación número dos. Se obtiene lo siguiente
Un vez hecho lo anterior, es fácil despejar el valor de x2.
Con el valor de x2, posteriormente se debe sustituir en la ecuación uno y despejar para obtener le valor de x1.
El anterior parece un proceso bastante rebuscado solamente para obtener los valores de un sistema de dos ecuaciones, sin embargo, el valor de este método recae, como veremos a continuación, sobre su capacidad de resolver sistemas grandes sistemas de ecuaciones.
Ejemplo de solución de un sistema de cuatro ecuaciones.
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones.
Por comodidad, representaré el mismo sistema de ecuaciones en forma de una matriz, obteniendo lo siguiente.
Con el objetivo de eliminar la primera variable, debemos multiplicar la primera ecuación por el equivalente a (a21/a11), en este caso corresponde a (2/1) = 2. Usar una matriz nos permite llevar a cabo el procedimiento por partes, por ejemplo, el primer numero de la primera ecuación es 1, el cual se convierte en 2 al multiplicarlo por (a21/a11), restamos el 2 que acabamos de obtener al primer 2 de la segunda ecuación, lo cual da cero, por lo tanto reemplazaremos el dos por un cero. Para el segundo numero de la ecuación 2, (a21/a11) debe multiplicarse por el segundo numero de la ecuación uno, el resultado es 2, dicho resultado se resta al segundo numero de la ecuación dos (1-2 = -1), por lo que reemplazaremos el 1 por -1. Si continuamos con el resto de la ecuación, el nuevo sistema quedaría como sigue.
Nuestro objetivo principal es cambiar todos los números de la primera columna de la matriz, excepto los de la primera fila, por cero, para lograrlo aplicaremos el mismo procedimiento que aplicamos anteriormente, pero en lugar de multiplicar los números de la ecuación uno por (a21/a11) lo haremos por (a31/a11). Así obtenemos lo siguiente
Aplicamos exactamente el mismo procedimiento que el anterior con la ecuación número 4, pero esta vez multiplicamos la ecuación 1 por el equivalente a (a41/a11), obteniendo lo siguiente.
Hemos logrado eliminar la primera columna, lo que haremos a continuación es aplicar el mismo procedimiento que recién hemos realizado, pero esta vez trataremos a la ecuación numero dos como si esta fuera la ecuación numero uno, convertiremos a cero todos los números de la columna número 2 que se encuentren por debajo de la ecuación 2.
En este caso tuvimos la suerte de que en la ultima ecuación, el valor del tercer número fue de cero, si no hubiera sido así habríamos aplicado exactamente el mismo procedimiento que ya conocemos, pero habríamos tomado a la ecuación número 3 como si fuera la ecuación numero uno.
Nota que el sistema resultante es notablemente fácil de resolver, pues la ultima fila de la matriz equivale a tener la siguiente expresión
De ahí es fácil despejar el valor de x4.
De aquí en adelante lo único que se debe hacer es sustituir el valor de x4 en la ecuación tres y despejar para obtener el valor de x3. Se hace lo propio con las ecuaciones dos y uno, quedando lo siguiente.
Lo resultados finales son los siguientes. Como lo mencionamos antes, lo ideal es llevar a cabo el procedimiento a través de un lenguaje informático, de lo contrario puede ser algo laborioso.
Si quieres implementar el código en MATLAB, el código necesario lo encontrarás en la pestaña "Métodos numéricos en MATLAB".
