El método de variación de parámetros se utiliza para dar solución únicamente a ecuaciones diferenciales de primer orden (si no sabes como clasificar una ecuación diferencial, visita nuestra entrada en la sección de calculo y matemáticas), este método, además, solo es aplicable a ecuaciones homogéneas, esto significa que solo es aplicable a ecuaciones diferenciales que están igualadas a cero, lo anterior no es una limitante para el método, pues aún si la ecuación no está igualada a cero, es posible hacer el procedimiento mediante algunos arreglos matemáticos.
El modelo general para las ecuaciones en las que se puede aplicar el método es el siguiente
Cualquier termino de "y" que pudiera estar a la derecha de la igualdad debe ser enviado hacia la izquierda para poder aplicar el método.
No hay mejor manera de entender un método que a través de su ejemplificación, así que resolveremos la siguiente ecuación mediante el método que aquí intentamos explicar.
1.- El primer paso del proceso es verificar si la ecuación diferencial es homogénea, en nuestro caso no lo es, por lo tanto deberemos llevar a cabo un proceso denominado homogeneización, el cual consiste, simplemente en sustituir el lado derecho de la igualdad por cero, la ecuación queda como sigue. Si la ecuación ya es homogénea, simplemente se procede al método de integración directa.
2.- La siguiente parte del proceso es aplicar el método de integración directa en la ecuación, lo cual simplemente consiste en despejar la ecuación de manera que las variables "x" y "y" queden el lados contrarios de la igualdad (el método de integración directa se explica en la entrada "Ecuaciones diferenciales"), posteriormente se integra ambos lados de la ecuación, tal como se muestra a continuación.
Nota: Recuerda que -2 ln x= ln (x)^-2, por lo tanto...
3.- El siguiente paso es despejar la ecuación directamente a la variable "y", en este caso cada lado de la ecuación se convierte en el exponente del numero de Euler, con el objetivo de eliminar el logaritmo natural de la parte izquierda. Recuerda que si realizas un cambio en igual en ambos lados de una ecuación, esta permanece inalterada.
A manera de recomendación, recuerda que si se eleva el numero de Euler a la potencia de una constante, se puede considerar que el numero resultante también será una constante, por lo tanto...
Considerando lo anterior, nuestra ecuación quedaría como sigue
Al hacer un pequeño arreglo matemático, la ecuación queda de la siguiente manera
El siguiente paso del procedimiento es muy importante, ya que se debe hacer una proposición, lo cual solamente significa que realizaremos un cambio de variable, o bien, como el nombre del procedimiento lo indica, una variación de parámetros, esto no implica ningún cambio en los valores. Se realiza con el objetivo marcar la diferencia entre los valores que hemos usado hasta ahora, y los que usaremos en los siguientes pasos, en el paso 6 observaras la razón de este cambio. Lo único que debemos hacer es cambiar la variable "c" por la variable "u". La ecuación queda de la manera siguiente
4.- El siguiente paso puede parecer un tanto confuso, pero intentaremos explicarlo de la mejor manera. Una vez que obtuvimos el valor de y, se procede a derivarlo, lo anterior se lleva a cabo debido a que, como se verá en los siguientes pasos, nuestra intención es sustituir los términos de la ecuación uno, por lo tanto, si en la ecuación uno tenemos una derivada, debemos sustituirlo por un valor equivalente, es decir, otra derivada. En el siguiente paso veremos cual es el objetivo de dicha derivación.
Nota: Observa que en las partes en las que se deriva la constante "u", simplemente se agrega el termino u'. Al hacer algunos arreglos matemáticos a la ecuación anterior, la derivada queda como se muestra a continuación.
Se hace la suma de fracciones y se continúan los arreglos.
5.- Una vez que tienen los valores tanto de y como de y', se procede a sustituirlos en la ecuación número uno, lo cual da como resultado la siguiente ecuación
Al realizar la operación anterior, obtenemos lo siguiente
- El proceso anterior es muy importante, se deben eliminar todos los términos de "u" quedando solo el termino de " u' ", si esta eliminación no toma lugar significa que hubo un error en el procedimiento, o que la ecuación diferencial no es de primer orden.
El resto del procedimiento es bastante sencillo, se debe despejar el termino " u' ", y se procede a integrar ambos lados de la ecuación, con el objetivo de obtener el valor de "u".
Nota: La constante de integración debe ser ignorada en esta parte del procedimiento
6.- El siguiente y ultimo paso del proceso consiste en sustituir el valor recién encontrado de "u" en la ultima ecuación que definimos durante el paso número 3, quedando de la siguiente manera.
El valor final de la variable "y", el objetivo del procedimiento, quedaría como se muestra a continuación.
Si deseas saber más sobre las ecuaciones diferenciales, visita nuestra entrada del mismo nombre en la sección "Calculo y matemáticas".
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