Sobre la ley de enfriamiento de Newton

Esta ley es muy útil para definir la manera en la que la temperatura de un objeto cambia con respecto al tiempo, la utilidad de esta ley radica, además, en que en cierto sentido se toma en cuenta el material especifico del que esta hecho cada objeto. Resolveremos un problema para dejar en claro la manera en la que se utiliza esta ley. 

Antes de resolver el problema, sería útil definir el origen de esta ley. La ley tiene como origen una ecuación diferencial, por lo que si no tienes conocimiento sobre la manera en la que funciona una ecuación diferencial, es una buena idea que visites la entrada dedicada a darles explicación en el menú "calculo y matemáticas". 

En realidad es un principio bastante sencillo. Como seguramente te habrás dado cuenta, cuando dos objetos entran en contacto, a saber, el aire y cualquier objeto, el calor fluye desde el objeto que contiene más energía hacia el que contiene menos, hasta que ambos llegan a un estado de equilibrio, tomando en cuenta lo anterior, es posible plantear la siguiente ecuación. 

"T" representa la temperatura, "t" representa el tiempo, y "TA" representa la temperatura del medio ambiente en la que el objeto se encuentra. Observa que la ecuación indica que el cambio en la temperatura de un objeto "dT/dt" es cero cuando un objeto esta a la misma temperatura que el medio ambiente circundante. 

Si despejamos la ecuación anterior para obtener el cambio de la temperatura en el tiempo "dT" obtenemos la siguiente expresión 

Observa que la constante "k" fue agregada con la intención de tomar en cuenta los diferentes grados de conductividad térmica de un objeto dependiendo del material del que esta hecho. Así, si un objeto teórico tuviera una conductividad perfecta "k" sería igual a uno, sin embargo eso es imposible, por lo que "k" siempre es un número muy pequeño. Más adelante descubriremos que al resolver la ecuación diferencial el valor de "k" siempre resultara ser negativo. 

Al integrar la ecuación en ambos lados obtenemos lo que sigue 

Si despejamos la ultima ecuación, podemos obtener la temperatura de un objeto en cualquier momento 

No hay mejor manera de aprender la manera en la que funciona la ley que acabamos de definir que con un problema.

1.- Un termómetro se saca de una habitación donde la temperatura es de 70º C y es llevado a otra en la que la temperatura es de tan solo 10º C. Después de medio minuto el termómetro marca una temperatura de 50º C. ¿Cual es la temperatura del termómetro después de un minuto? 

Solución 

Observa que el único obstáculo que tenemos para solucionar el problema es obtener el valor de la constante "k". Para ello utilizaremos el valor de la condición inicial que nos proporciona el problema, la cual dice que pasados treinta segundos (medio minuto) el termómetro marca 50º C. Para hacerlo, es útil saber que el valor de la constante "C" siempre es igual la diferencia entre "T0" y "TA" (donde T0 es la temperatura inicial del objeto, para nuestro problema el valor de T0 es igual a 70º C).

Una vez que hemos obtenido el valor de k, solamente debemos sustituir el valor del tiempo de interés en la ecuación inicial para obtener nuestra respuesta. En este caso nos interesa saber la temperatura del termómetro pasado un minuto, sustituyendo obtenemos

Obtenemos que la temperatura del termómetro pasado un minuto será igual a 36.69º C, observa que esta ley no solo es aplicable a los casos en los que se necesita saber la temperatura en un tiempo determinado, sino que también es posible saber el tiempo que tardara un objeto en llegar a cierta temperatura. 

Sobre el plano, la linea recta, y las dimensiones matemáticas.

El día de hoy decidí darme a la tarea de explicarles un poco acerca de la manera en la que las dimensiones, la recta, el plano, y el espacio, se escriben de forma matemática. No pretenderé ser exhaustivo, lo que pretendo es que cualquier estudiante pueda comprender, de forma simple, los conceptos que aquí explicare, ya que reconozco que mucha de la literatura existente sobre el tema, puede llegar a ser un poco confusa debido a que en ocasiones se utilizan lenguajes demasiado especializados. 

Comenzaremos por el principio, la recta. Para poder construir una recta se necesita, como mínimo, de un espacio de dos dimensiones, al cual se le conoce también como un "plano", puedes imaginar un plano como una hoja en la que solamente existen dos direcciones, una que apunta en dirección "derecha-izquierda" y otra en dirección "arriba-abajo", en el cual no existe una dirección "adelante-atras". 

Una recta no es más que una linea en el plano, sin embargo, puedes imaginarla como un conjunto de puntos, los cuales, al unirse, conforman la recta. Por lo tanto, para definir una ecuación que describa de una recta, necesitamos conocer, por lo menos, la posición de dos de los puntos que forman parte de dicha recta. 

En matemáticas, definimos un punto en el plano indicando su posición en la dirección "derecha-izquierda", y  su dirección "arriba-abajo". Normalmente la dirección "derecha-izquierda" se distingue con la variable "x" mientras que la dirección "arriba-abajo" se distingue con la variable "y".

Así, si se indica que un punto se encuentra en dirección 4x+4y, se te está indicando que dicho punto se encuentra cuatro unidades hacia la derecha y cuatro unidades hacia arriba del origen (El origen es el punto 0x + 0y). En cambio, si se indica que un punto tiene una ubicación -4x-4y, se te esta diciendo que el punto se encuentra cuatro unidades hacia la izquierda y cuatro unidades hacia abajo del origen. 

En algunas representaciones, se evita el uso de las variables "x" y "y", en lugar de eso un punto se define escribiendo entre paréntesis las unidades de distancia en cada dirección, separadas por una coma, que deben ser recorridas para llegar a el. Así, para el punto (4 , 4) el primer numero siempre se refiere a la dirección "izquiera-derecha", mientras que el segundo se refiere a la dirección "arriba-abajo", por lo cual, el punto (4 , 4) es equivalente al primer punto que describimos en el párrafo anterior, mientras que el punto (-4 , -4) es equivalente al segundo. El origen se describiría como el punto (0 , 0). 

Representación gráfica del punto (1 , 1)

Representación gráfica del punto (-1, -1)

Ahora bien, para representar una recta en el plano debemos plantear una ecuación que describa la manera en la que esta se desarrolla. Observa que la única diferencia entre una recta y otra, cualesquiera, es su pendiente. La pendiente de una recta es un numero que define la cantidad de unidades en "y" que se deben recorrer sobre la recta para poder avanzar una unidad de "x". 

Tomemos en cuenta la recta que se describe en la imagen de arriba. Para que la recta pueda avanzar una unidad en "x" debe avanzar 2 unidades en "y", por lo tanto su pendiente es la division de las unidades que deben ser recorridas en "y" por unidad de "x", 2/1=1, por lo tanto la recta de la imagen tiene una pendiente de 2.

En ocasiones las unidades recorridas en "y" por cada unidad de "x" no son tan claras como en la imagen anterior, por lo que se hace uso de la siguiente formula matemática

Donde "m" representa la pendiente de una recta que pasa por dos puntos específicos en "y" y 2 puntos específicos en "x". Observa que la resta de y2-y1 define la distancia en la dirección "arriba-abajo" comprendida entre el punto "y2" y "y1". La parte de abajo de la division hace lo propio en la dirección "derecha-izquierda". Al dividir ambas magnitudes, se obtiene una proporción de las unidades que deben ser recorridas en "y" por cada unidad recorrida en "x". Cabe aclarar que no importa el orden en el cual se resten "y2" y "y1" o "x2" y "x1", el resultado siempre será 

Con lo que hemos aprendido hasta ahora, ya estamos listos para definir la ecuación de un recta cualquiera, y lo haremos utilizando una variación de la ecuación anterior. 

Para poder definir la ecuación de una linea recta, las variables "y" y "x" deben quedarse tal como están, mientras que las variables "x1" y "y1" deben ser sustituidas por cualquiera de los puntos existentes en la linea recta. La variable "m" representa la pendiente de la recta. 

Con el objetivo de aplicar todo el conocimiento que hemos acumulado hasta ahora, procederemos a resolver un pequeño problema. Definiremos la ecuación de la recta que pasa por los puntos (5 , 4) y (-3 , 2).

Solución. 

Lo primero por hacer es definir la pendiente que describe a una recta que pasa por ambos puntos

El siguiente paso es construir la ecuación de la recta, lo cual se lleva a cabo de la manera siguiente. Para ello, podemos usar cualquiera de los dos puntos iniciales proporcionados por el problema, para nuestro problema utilizaremos el punto (5 , 4), obteniendo 

Observa que el numero que acompaña a la variable "x" siempre es numéricamente igual al valor de la pendiente, mientras que el valor de la constante, en este caso 11/4, es el punto donde la recta toca el eje de las "y". 

Representación gráfica de la ecuación y=(1/4) x + 11/4

   

¿Como definimos la distancia entre dos puntos en el plano? En realidad es un asunto bastante sencillo si seguimos la siguiente formula 

Observa que esta formula proviene del teorema de Pitágoras, el cual dice que la raíz cuadrada de la sumatoria de los cuadrados de los catetos es igual a la hipotenusa. En la ecuación anterior x2-x1 representa el largo de uno de los catetos, mientras que y2-y1 representa el largo del cateto restante, por lo tanto se puede suponer que la distancia entre los 2 puntos es igual a la hipotenusa del triángulo. Así, la distancia entre los puntos del problema anterior quedaría de la siguiente manera

Toma en cuenta que las proporciones del problema anterior no solo son aplicables a problemas de distancia, sino que también pueden representar las componentes de la fuerza aplicada sobre una partícula, solo por dar un ejemplo. Las aplicaciones para esta clase de modelos son variadas. En la representación anterior obtuvimos que la distancia entre los dos puntos planteados es de 8.24 unidades.

Todo esto suena fabuloso, sin embargo, es posible que te estes preguntando ¿Cual es su utilidad? 

En esta entrada solo hemos sentado las bases sobre el trabajo en planos bidimensionales, en entradas posteriores aprenderemos más sobre el uso y las aplicaciones de los vectores tanto en dos dimensiones como en tres dimensiones. Tendrás que esperar un poco para llegar a dichas entradas.