Infiriendo la historía evolutiva reciente del SARS-Cov-2 a partir de la secuencia genética de la proteina “S”

Diego Castro 

 

Diego Castro. Ing. en Biotecnología. Estudiante de posgrado con especialidad en Biotecnología de Plantas.

Mail: diego.castro@cinvestav.mx

 

Resumen

 

La pandemia producida por el SARS-Cov-2 a llegado a cinco continentes, infectado a millones de personas y causado la muerte de al menos medio millón desde su surgimiento a finales de 2019. El genoma del SARS-Cov-2 es casi identico al del SARS-Cov, el agente causante de la pandemia de SARS en 2003, y es muy parecido al de otros coronavirus que afectan a mamiferos como cerdos, murcielagos y pangolines. Las polémicas recientes sobre el origen del SARS-Cov-2 representan una oportunidad para ejemplificar el uso e importancia de los métodos de inferencia evolutiva que son usados en la actualidad. Así, se infirió la filogenía del SARS-Cov-2, comparando la secuencia de la proteina “S” con las secuencias de otros 20 coronavirus de distintos tipos y origenes, ello se hizo a través de la herramienta PhyML-SMS. Se pudo corroborar que la relación ancestral más reciente que tiene la proteina “S” del SARS-Cov-2 se da con una variedad de coronavirus encontrada en el murcielago Rhinolophus affinis, Cov-RaTG13, por lo que es factible que el SARS-Cov-2 provenga de ese u otro coronavirus parecido. La proteína “S” de los coronavirus tiene algunas características interesantes, como su proporción G-C y su gran variabilidad, además, todas las secuencias de SARS-Cov-2 contienen una inserción de 12 bases nitrogenadas que codifica para una cadena de aminoácidos básicos que podría estar relacionada con el incremento en el potencial infeccioso del virus.

 

Introducción

 

Desde la primera aparición de la enfermedad conocida como COVID-19 en Wuhan, China, ha habido una intensa movilización dentro de la comunidad científica para estudiar al agente responsable de la mencionada enfermedad, el SARS-Cov-2. Hasta el 8 de julio del 2020, al menos 11, 900,885 personas han sido infectadas con el virus, y no menos de 545,728 personas han perdido la vida en todos los continentes habitados como consecuencia del COVID-19 (CSSE, 2020); se trata de una pandemia sin precedentes en la historia moderna.

El SARS-Cov-2 es un tipo de coronavirus, estos virus se catalogan dentro del orden de los Nidovirales, familia Coronaviridae, subfamilia Coronaviridae. Dicha subfamilia incluye 4 géneros, de los cuales solo los alfacoronavirus y Betacoronavirus son capaces de infectar humanos (Cui et al., 2019). Existen pocas cepas de coronavirus capaces de infectar al ser humano, hasta la epidemia de 2003 se consideraba que mayoría de las coronavirus  ejercían poca patogenicidad sobre los humanos, causando afecciones respiratorias, gastrointestinales, renales y hepáticas con síntomas leves o inexistentes, especialmente en personas inmunocomprometidas, niños y adultos mayores; lo anterior cambió tras la llegada del SARS-Cov y el MERS-Cov, los cuales son capaces de generar un síndrome respiratorio severo que puede ser mortal para los pacientes infectados. Más recientemente, el SARS-Cov-2 se convirtió en el séptimo coronavirus capaz de infectar al ser humano, el virus tiene una mortalidad promedio más baja (alrededor de 2.1%) comparada con la del SARS-Cov de 2003 (alrededor del 10%), sin embargo, el SARS-Cov-2 ha demostrado ser mucho más contagioso que su predecesor (Xu et al., 2020).

El genoma del SARS-Cov-2 tiene un porcentaje de identidad del 85% con respecto a otros virus de tipo SARS (SARS-like), y tiene hasta un 96% de identidad con el coronavirus RaTG13, que infecta a los murciélagos Rhinolophus affinis (Andersen et al., 2020; Xu et al., 2020). A pesar de que el enorme parecido entre el Sars-Cov-2 y otros coronavirus sugiere un origen en común, se han suscitado varias polémicas en relación con el origen de este; por lo que durante el presente documento nos hemos abocado a analizar, a través de programas informáticos que hacen uso de diversos modelos matemáticos, la posible historia evolutiva del SARS-Cov-2, así como algunas características que lo vuelven único en su tipo. Dicho análisis se llevó a cabo sobre la proteína “S” (spike), ya que es la “llave” que permite al virus ingresar y parasitar a las células humanas al interactuar con la enzima convertidora de angiotensina 2 (ACE2); además, porque la secuencia genética de la proteína S es la más variable dentro del genoma del SARS-Cov-2 (Andersen et al., 2020).

 

Resultados 

 

Se obtuvieron las secuencias genéticas correspondientes a la proteína S de 21 distintos coronavirus a través de la herramienta BLAST (https://blast.ncbi.nlm.nih.gov/Blast.cgi), incluidas 10 secuencias de Sars-Cov-2, 5 secuencias provenientes de distintos coronavirus encontrados en murciélagos, incluyendo RaTG13, y 6 secuencias de coronavirus encontradas en Pangolín; en la tabla 1 se observa el origen e identificador de cada una de las secuencias en cuestión. La alineación múltiple se llevó a cabo utilizando el paquete de alineación MAFFT (disponible en https://ngphylogeny.fr/tools/), el cual es conveniente debido a que dicho paquete no lleva a cabo una comparación por pares de “todos contra todos”, lo que a su vez disminuye los costos computacionales (Bawono et al., 2017). En la imagen 1 se muestra un segmento de la alineación múltiple resultante; es de llamar la atención que todas secuencias correspondientes a SARS-Cov-2 contienen una inserción de 12 bases nitrogenadas entre los sitios 2045 y 2056, mientras que dicha secuencia está ausente en todas las secuencias distintas a SARS-Cov-2.

A partir de la alineación múltiple que se aprecia en la imagen 1, se llevó a cabo el procedimiento de inferencia de una filogenia. Para ello se utilizó el programa PhyML+SMS (disponible en https://ngphylogeny.fr/tools/), el cual permite inferir filogenias a través del método de máxima verosimilitud. El método de máxima verosimilitud implica la construcción de un “bosque de árboles” que representa a todas las posibles filogenias que se pueden obtener a partir de los datos que se tienen (21 secuencias, en nuestro caso), y, después, el software evalúa una proporción de esos árboles para determinar el árbol que mejor se corresponde con los datos de acuerdo con un modelo de evolución molecular terminado. En este caso se utilizó un programa con “Smart Model Selection” (SMS) de tipo “BIC” (Bayesian information criterion), el cual evalúa la verosimilitud de los distintos modelos de evolución molecular y castiga severamente la sobreparametrización, por lo que el programa en si mismo determinó el mejor modelo de evolución molecular que se ajusta con los datos (Yang and Rannala, 2012; Sullivan and Joyce, 2005). El siguiente matiz es importante: el árbol seleccionado como el “más verosímil”, se refiere al “más verosímil” dentro de los árboles analizados, el cual puedo o no ser el más verosímil entre todos los árboles posibles; esto pasa debido a que, dada la naturaleza NP-completa (NP=Polinómica no determinista) del problema, es computacionalmente muy costoso analizar todos los árboles. Se utilizó el algoritmo NNI (nearest-neighbor interchange) para determinar la topología más verosímil del árbol, NNI es una versión más ligera que SPR (Subtree-Pruning-Regrafting), que debería funcionar muy bien en nuestras secuencias debido a que son muy similares. El soporte estadístico de las ramas se determinó a partir del método aLRT (approximate likelyhood radio test) con la corrección no paramétrica SH (Shimodaira–Hasegawa). En la imagen 2 se observa el dendograma que arroja el programa PhyML-SMS al introducir los parametros antes mencionados, con raíz y sin raíz.

En el panel A de la imagen 2 se observa el dendograma, sin raíz, de las 21 secuencias de la proteína S de distintos coronavirus. De inmediato salta a la vista que la secuencia RaTG13 es la tiene la relación ancestral más cercana al clado de las 10 secuencias de SARS-Cov-2, tal como lo han indicado otros autores (Wrobel et al., 2020). De igual manera, es interesante que nuestros resultados indiquen que una secuencia de Pangolin (PCov-MT121216) es la segunda más cercana al clado de SARS-Cov-2, ya que hay información que indica que existe mayor similitud entre el área conocida como “Receptor Binding Domain” (RBD) de SARS-Cov-2 y PCov, en comparación con SARS-Cov-2 y RaTG13 (Andersen et al., 2020). En el panel B se observa el mismo dendograma, al cual se le añadió raíz en un sitio en el que, biológicamente, tendría sentido ubicarla.

 

Discusión 

 

Como ya se mencionó antes, salta a la vista que la única característica compartida entre todas las secuencias de coronavirus es una inserción de 12 bases nitrogenadas entre los sitios 2045 y 2056. Desde luego, existen otras diferencias compartidas entre algunas secuencias de SARS-Cov-2, pero esta es la única que, de forma inequívoca, es distintiva del SARS-Cov-2 en comparación con otros coronavirus, incluyendo el SARS-Cov. Se sabe que la cadena polibásica que codifican dichas bases nitrogenadas incluye un sitio de corte de una furina (un tipo de enzimas humanas que cortan proteínas en sitios específicos), sin embargo, no se sabe la función precisa que esta tiene durante el ciclo infeccioso de Sars-Cov-2,  en otros virus como el de la influenza aviar del subtipo H5, la cadena polibásica ha sido relacionada con un incremento importante en la virulencia, aunque por si sola es incapaz de generar dicho incremento (Gohrbandt et al., 2011; Andersen et al., 2020). Además, se puede observar en la imagen 1 que no hay variación en las bases de esa secuencia de 12 aminoácidos entre las 10 secuencias de SARS-Cov-2, y que, a diferencia de la secuencia completa de la proteína S que contiene un 37.5% de C-G, la inserción de 12 bases nitrogenadas se conforma casi por completo de C-G. El alto contenido de G-C de la inserción de 12 bases nitrogenadas podría tener alguna relación con el nivel de conservación de esta secuencia entre los distintos tipos de SARS-Cov-2, ya que en mamíferos las islas de CpG están estrechamente relacionadas con las secuencias de genes funcionales, las cuales tienen un sistema de reparación de daños mucho más refinado que otras secuencias y tienden a exhibir una proporción más alta de mutaciones sinónimas (Page and Holmes, 2009). Se esperaría que una proteína tan importante para el ciclo de vida del virus estuviera bajo un alto nivel de restricción funcional, con una proporción de mutaciones sinónimas más alto que las mutaciones no sinónimas, sin embargo, parece que las mutaciones no sinónimas son bastante comunes en la secuencia de la proteína S, y frecuentemente resultan en nuevos coronavirus que exhiben distinto potencial infeccioso y pueden afectar nuevas especies de mamíferos.

Como se observa en ambos paneles de la imagen 2, el indicador SH-aLRT es cero para las ramas finales de las distintas variedades de SARS-Cov-2, se trata de una politomia, ello podría ser explicado de dos maneras distintas, primero, que todas esas secuencias divergieron al mismo tiempo, o bien, podría indicar que existe cierta incertidumbre acerca de la relación precisa entre cada una de las secuencias de SARS-Cov-2, probablemente debido a que las diferencias entre las secuencias son demasiado pocas (Page and Holmes, 2009). De cualquier manera, no queda ninguna duda de que el clado más cercano, que incluye secuencias distintas a SARS-Cov-2, es el que incluye las secuencias de RaTG13 y Pangolín MT121216. En cuanto al origen del nuevo SARS-Cov-2, el presente documento demuestra que, en sintonía con las técnicas utilizadas hasta ahora por la comunidad científica para inferir árboles filogenéticos y que han sido utilizadas con éxito para inferir la propia historia evolutiva del ser humano, es perfectamente factible que el SARS-Cov-2 haya surgido a partir de la recombinación con otros coronavirus (Li et al., 2020), o la acumulación de errores durante el proceso de replicación de un coronavirus previamente existente, quizá RaTG13 o PCov- MT121216, o uno similar a estos. Sin embargo, vale la pena aclarar que, debido a que las filogenias se infieren a partir de modelos matemáticos y probabilísticos, es imposible afirmar categóricamente, a partir de lo datos aquí presentados, un origen determinado para el SARS-Cov-2.

 

Material y Métodos

 

Las 21 secuencias utilizadas en el presente trabajo fueron obtenidas a partir de la herramienta BLAST, disponible en la siguiente liga: https://blast.ncbi.nlm.nih.gov/Blast.cgi. Las secuencias de SARS-Cov-2 se buscaron en la base de datos de Betacoronavirus, las secuencias distintas a SARS-Cov-2 se buscaron en la misma base de datos, indicando la exclusión de las secuencias de SARS-Cov-2. Las secuencias se descargaron en formato FASTA y se guardaron en un solo archivo

Para la alineación múltiple, el archivo se ingresó en la herramienta MAFFT, sin agregar parámetros adicionales, disponible en la siguiente liga https://ngphylogeny.fr/tools/. La alineación se descargó en formato FASTA y se utilizó el programa Jalview 2.11.1.0. para visualizarla, tal como se ve en la imagen 1.

El archivo FASTA con la alineación múltiple se introdujo en el programa PhyML+SMS, disponible en https://ngphylogeny.fr/tools/, utilizando BIC para evaluar los distintos modelos de evolución molecular, NNI para determinar la topología más verosímil, y SH-aLRT como criterio de verosimilitud de las ramas.

 

Material suplementario

 

Referencias

 

Andersen, K. G., Rambaut, A., Lipkin, W. I., Holmes, E. C., & Garry, R. F. (2020). The proximal origin of SARS-CoV-2. Nature Medicine, 26(4), 450-452. doi:10.1038/s41591-020-0820-9.

Bawono, P., Dijkstra, M., Pirovano, W., Feenstra, A., Abeln, S., & Heringa, J. (2017). Multiple Sequence Alignment. In J. M. Keith (Ed.), Bioinformatics (p. 491). Humana Press. doi:10.1007/978-1-4939-6622-6.

CSSE (2020). Coronavirus Resource Center. https://coronavirus.jhu.edu/map.html. Accessed 08/07/2020 2020.

Cui, J., Li, F., & Shi, Z.-L. (2019). Origin and evolution of pathogenic coronaviruses. Nature Reviews Microbiology, 17(3), 181-192. doi:10.1038/s41579-018-0118-9.

Gohrbandt, S., Veits, J., Hundt, J., Bogs, J., Breithaupt, A., Teifke, J. P., et al. (2011). Amino acids adjacent to the haemagglutinin cleavage site are relevant for virulence of avian influenza viruses of subtype H5. Journal of General Virology, 92(1), 51-59. doi:https://doi.org/10.1099/vir.0.023887-0.

Li, X., Giorgi, E. E., Marichannegowda, M. H., Foley, B., Xiao, C., Kong, X.-P., et al. (2020). Emergence of SARS-CoV-2 through recombination and strong purifying selection. Science Advances, 6(27), eabb9153. doi:10.1126/sciadv.abb9153.

Page, R. D. M., & Holmes, E. C. (2009). Molecular Evolution: A Phylogenetic Approach. Wiley.

Sullivan, J., & Joyce, P. (2005). Model Selection in Phylogenetics. Annual Review of Ecology, Evolution, and Systematics, 36(1), 445-466. doi:10.1146/annurev.ecolsys.36.102003.152633.

Wrobel, A. G., Benton, D. J., Xu, P., Roustan, C., Martin, S. R., Rosenthal, P. B., et al. (2020). SARS-CoV-2 and bat RaTG13 spike glycoprotein structures inform on virus evolution and furin-cleavage effects. Nature Structural & Molecular Biology. doi:10.1038/s41594-020-0468-7.

Xu, J., Zhao, S., Teng, T., Abdalla, A. E., Zhu, W., Xie, L., et al. (2020). Systematic Comparison of Two Animal-to-Human Transmitted Human Coronaviruses: SARS-CoV-2 and SARS-CoV. Viruses, 12(2), 244.

Yang, Z., & Rannala, B. (2012). Molecular phylogenetics: principles and practice. Nature Reviews Genetics, 13(5), 303-314. doi:10.1038/nrg3186.

El rol de la proteína Bravucona en la reproducción de vertebrados

El rol de la proteína Bravucona en la reproducción de vertebrados

Basado en el artículo: The Ly6/uPAR protein bouncer is necessary and sufficient for species specific fertilization, DOI:  10.1126/science.aat7113

Autor: Diego Castro1

1 Ingeniero en Biotecnología con una concentración en Ing. de Bioprocesos por el Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey.

Resumen: Se sabe muy poco acerca de los mecanismos precisos que intervienen durante el proceso de fertilización llevado a cabo durante la reproducción sexual, hasta el momento, las únicas proteínas que se sabe que juegan un rol en la unión de óvulos o espermatozoides son JUNO e IZUMO1. En esta investigación, se determinó que una proteína expresada en los óvulos de los peces cebra (con homólogos en otros vertebrados) llamada, proteína “bravucona” es muy importante durante el proceso de fertilización de los huevos del pez cebra, además, por si sola es capaz de impedir que los huevos de este pez sean fecundados por peces de otras especies. Una variedad de técnicas de biología molecular fueron utilizadas para este propósito.

Antecedentes

La fertilización es el proceso en el cual los gametos, es decir las células sexuales, se funden para dar lugar a una nueva célula, la cual contiene información genética proveniente de cada uno de los progenitores. Este proceso es altamente eficiente y ha sido depurado a lo largo de la historia evolutiva de muchas especies, además, se sabe que de alguna manera, existen mecanismos que impiden que los gametos de especies muy distintas lleven a cabo el proceso de fertilización.

Las proteínas juegan un rol  fundamental en la mayoría de los procesos llevados a cabo por organismos vivos, ya que, además de tener una función estructural (somos proteínas), hormonal, y tantas otras, las enzimas (un tipo de proteínas) son las pequeñas fábricas que hacen posible (catalizan) la gran mayoría de las reacciones químicas que suceden en un organismo. Las proteínas son largas cadenas de moléculas llamadas aminoácidos, dichas cadenas son producidas a partir de las instrucciones presentes en el ADN de un ser vivo, las cuales se encuentran codificadas en forma de “genes”. que pueden tener tamaños diversos. Se sabe que existen proteínas incrustadas en las membranas celulares, incluidos los gametos, las cuales podrían tener algo que ver con el proceso de fertilización. Se conocen muy pocas proteínas relacionadas con estos procesos en vertebrados.

Desarrollo

Para determinar la existencia de de otras proteínas que pudieran ejercer un papel durante el proceso de fertilización de los óvulos en vertebrados, el equipo que llevó a cabo un análisis para determinar cuáles son las proteínas que son producidas en mayor proporción en los ovocitos (células precursoras de los óvulos) y en los testículos, esto se llevó a cabo a través de un método predictivo. De este estudio, se observó que había una proteína, a la que posteriormente se le dió el nombre coloquial de “bravucona” o “bncr” que era producida en grandes cantidades en los ovocitos. Dado que no había antecedentes de trabajo con este gen y esta proteína, se tuvo que determinar cuál era el tamaño de ese gen, para ello se utilizaron técnicas como: secuenciación de ARN, hibridación in situ, perfil de ribosomas y análisis cap de la expresión de dicho gen. No hace falta conocer a detalle estas técnicas,  sino saber que nos permiten determinar el tamaño del gen, su ubicación entre otros genes, el lugar a partir del cual inia y su nivel de expresión (la velocidad con la que la información que ese gen contiene, es utilizada para generar nuevas proteínas), de igual manera, se determinó que esta proteína solo tiene presencia en los ovocitos (hembra) y no en los espermatozoides, estando incrustada en la membrana celular del ovocito.

Mediante análisis posteriores, se determinó que esta proteína pertenece a la superfamilia Ly6/uPAR, una familia muy heterogénea. Además, se determinó que este gen tiene un homólogo en mamíferos, reptiles y anfibios, llamado SPACA4, cuya función in vivo es desconocida. Lo anterior provocó que el equipo buscara determinar el rol que juega el gen bravucón. Para ello, el equipo modificó genéticamente algunos ejemplares del pez cebra, de manera que estos no produjeran la proteína bravucona, esto se llevó a cabo con machos y hembras. Posteriormente, se llevó a cabo el apareamiento entre ejemplares salvajes, y los que habían sido modificados (en adelante “bncr -/-”). Se descubrió que, cuando las hembras eran bncr -/-, la vasta mayoría de los embriones no se desarrollaban lo suficiente, mientras que ello no afectaba con los machos bncr-/-, lo cual es congruente debido a que esta proteína naturalmente no tiene presencia en los machos.

Una vez que se supo que la proteína bravucona es esencial para una fertilización exitosa, el equipo se preguntó ¿De qué manera interviene la proteína?¿Actúa como una señal de entrada para los espermatozoides, o su función es dejarlos entrar? Mediante un par de experimentos, se determinó que la proteína no tiene función señalizadora, y que su rol primordial es el de “abrir al puerta” para que los espermatozoides puedan entrar al ovulo. Esto se sabe debido a que los espermatozoides se acercan de manera similar al ovulo, aun los espermatozoides fallan, mientras que otros tienen éxito al intentar entrar a Óvulos que si tienen la proteína. Otro ensayo se llevó a cabo para determinar si la proteína bravucona interviene para impedir que los huevos fueran fecundados por especies distintas al pez cebra. Se observó que, al modificar genéticamente el huevo con CRISPR/cas9, inactivando al gen bravucón e insertando uno de otra especie, es posible lograr que otras especies distintas al pez cebra fertilicen los huevos, aún cuando los embriones puedan no sobrevivir.

Conclusión

Los resultados de esta investigación podrían ser tomados como una pauta para descubrir nuevos factores de fertilización, que, con el tiempo, podrían ser utilizados para tratar distintas condiciones humanas relacionadas con la fertilidad.

Referencias

Herverg, S., Gert, K., Schleiffer, A., Pauli, A. (2018).  The Ly6/uPAR protein bouncer is necessary and sufficient for species specific fertilization. Science, 361. 1029-1033. DOI 10.1126/science.aat7113

Lecturas adicionales

Guillén, V. (s.f.). Estructura y propiedades de las proteínas Universidad Veracruzana. https://www.uv.es/tunon/pdf_doc/proteinas_09.pdf

Hernandez, D., Rodriguez-Padilla,C. (2016). La revolución de CRISPR/Cas9. UANL. http://cienciauanl.uanl.mx/?p=5610

La proteina es bravucona porque es la encargada de “abrir la puerta” al espermatozoide, tal como los bravucones abren la puerta en los antros y bares.

Sobre la ley de enfriamiento de Newton

Esta ley es muy útil para definir la manera en la que la temperatura de un objeto cambia con respecto al tiempo, la utilidad de esta ley radica, además, en que en cierto sentido se toma en cuenta el material especifico del que esta hecho cada objeto. Resolveremos un problema para dejar en claro la manera en la que se utiliza esta ley. 

Antes de resolver el problema, sería útil definir el origen de esta ley. La ley tiene como origen una ecuación diferencial, por lo que si no tienes conocimiento sobre la manera en la que funciona una ecuación diferencial, es una buena idea que visites la entrada dedicada a darles explicación en el menú "calculo y matemáticas". 

En realidad es un principio bastante sencillo. Como seguramente te habrás dado cuenta, cuando dos objetos entran en contacto, a saber, el aire y cualquier objeto, el calor fluye desde el objeto que contiene más energía hacia el que contiene menos, hasta que ambos llegan a un estado de equilibrio, tomando en cuenta lo anterior, es posible plantear la siguiente ecuación. 

"T" representa la temperatura, "t" representa el tiempo, y "TA" representa la temperatura del medio ambiente en la que el objeto se encuentra. Observa que la ecuación indica que el cambio en la temperatura de un objeto "dT/dt" es cero cuando un objeto esta a la misma temperatura que el medio ambiente circundante. 

Si despejamos la ecuación anterior para obtener el cambio de la temperatura en el tiempo "dT" obtenemos la siguiente expresión 

Observa que la constante "k" fue agregada con la intención de tomar en cuenta los diferentes grados de conductividad térmica de un objeto dependiendo del material del que esta hecho. Así, si un objeto teórico tuviera una conductividad perfecta "k" sería igual a uno, sin embargo eso es imposible, por lo que "k" siempre es un número muy pequeño. Más adelante descubriremos que al resolver la ecuación diferencial el valor de "k" siempre resultara ser negativo. 

Al integrar la ecuación en ambos lados obtenemos lo que sigue 

Si despejamos la ultima ecuación, podemos obtener la temperatura de un objeto en cualquier momento 

No hay mejor manera de aprender la manera en la que funciona la ley que acabamos de definir que con un problema.

1.- Un termómetro se saca de una habitación donde la temperatura es de 70º C y es llevado a otra en la que la temperatura es de tan solo 10º C. Después de medio minuto el termómetro marca una temperatura de 50º C. ¿Cual es la temperatura del termómetro después de un minuto? 

Solución 

Observa que el único obstáculo que tenemos para solucionar el problema es obtener el valor de la constante "k". Para ello utilizaremos el valor de la condición inicial que nos proporciona el problema, la cual dice que pasados treinta segundos (medio minuto) el termómetro marca 50º C. Para hacerlo, es útil saber que el valor de la constante "C" siempre es igual la diferencia entre "T0" y "TA" (donde T0 es la temperatura inicial del objeto, para nuestro problema el valor de T0 es igual a 70º C).

Una vez que hemos obtenido el valor de k, solamente debemos sustituir el valor del tiempo de interés en la ecuación inicial para obtener nuestra respuesta. En este caso nos interesa saber la temperatura del termómetro pasado un minuto, sustituyendo obtenemos

Obtenemos que la temperatura del termómetro pasado un minuto será igual a 36.69º C, observa que esta ley no solo es aplicable a los casos en los que se necesita saber la temperatura en un tiempo determinado, sino que también es posible saber el tiempo que tardara un objeto en llegar a cierta temperatura. 

Sobre el plano, la linea recta, y las dimensiones matemáticas.

El día de hoy decidí darme a la tarea de explicarles un poco acerca de la manera en la que las dimensiones, la recta, el plano, y el espacio, se escriben de forma matemática. No pretenderé ser exhaustivo, lo que pretendo es que cualquier estudiante pueda comprender, de forma simple, los conceptos que aquí explicare, ya que reconozco que mucha de la literatura existente sobre el tema, puede llegar a ser un poco confusa debido a que en ocasiones se utilizan lenguajes demasiado especializados. 

Comenzaremos por el principio, la recta. Para poder construir una recta se necesita, como mínimo, de un espacio de dos dimensiones, al cual se le conoce también como un "plano", puedes imaginar un plano como una hoja en la que solamente existen dos direcciones, una que apunta en dirección "derecha-izquierda" y otra en dirección "arriba-abajo", en el cual no existe una dirección "adelante-atras". 

Una recta no es más que una linea en el plano, sin embargo, puedes imaginarla como un conjunto de puntos, los cuales, al unirse, conforman la recta. Por lo tanto, para definir una ecuación que describa de una recta, necesitamos conocer, por lo menos, la posición de dos de los puntos que forman parte de dicha recta. 

En matemáticas, definimos un punto en el plano indicando su posición en la dirección "derecha-izquierda", y  su dirección "arriba-abajo". Normalmente la dirección "derecha-izquierda" se distingue con la variable "x" mientras que la dirección "arriba-abajo" se distingue con la variable "y".

Así, si se indica que un punto se encuentra en dirección 4x+4y, se te está indicando que dicho punto se encuentra cuatro unidades hacia la derecha y cuatro unidades hacia arriba del origen (El origen es el punto 0x + 0y). En cambio, si se indica que un punto tiene una ubicación -4x-4y, se te esta diciendo que el punto se encuentra cuatro unidades hacia la izquierda y cuatro unidades hacia abajo del origen. 

En algunas representaciones, se evita el uso de las variables "x" y "y", en lugar de eso un punto se define escribiendo entre paréntesis las unidades de distancia en cada dirección, separadas por una coma, que deben ser recorridas para llegar a el. Así, para el punto (4 , 4) el primer numero siempre se refiere a la dirección "izquiera-derecha", mientras que el segundo se refiere a la dirección "arriba-abajo", por lo cual, el punto (4 , 4) es equivalente al primer punto que describimos en el párrafo anterior, mientras que el punto (-4 , -4) es equivalente al segundo. El origen se describiría como el punto (0 , 0). 

Representación gráfica del punto (1 , 1)

Representación gráfica del punto (-1, -1)

Ahora bien, para representar una recta en el plano debemos plantear una ecuación que describa la manera en la que esta se desarrolla. Observa que la única diferencia entre una recta y otra, cualesquiera, es su pendiente. La pendiente de una recta es un numero que define la cantidad de unidades en "y" que se deben recorrer sobre la recta para poder avanzar una unidad de "x". 

Tomemos en cuenta la recta que se describe en la imagen de arriba. Para que la recta pueda avanzar una unidad en "x" debe avanzar 2 unidades en "y", por lo tanto su pendiente es la division de las unidades que deben ser recorridas en "y" por unidad de "x", 2/1=1, por lo tanto la recta de la imagen tiene una pendiente de 2.

En ocasiones las unidades recorridas en "y" por cada unidad de "x" no son tan claras como en la imagen anterior, por lo que se hace uso de la siguiente formula matemática

Donde "m" representa la pendiente de una recta que pasa por dos puntos específicos en "y" y 2 puntos específicos en "x". Observa que la resta de y2-y1 define la distancia en la dirección "arriba-abajo" comprendida entre el punto "y2" y "y1". La parte de abajo de la division hace lo propio en la dirección "derecha-izquierda". Al dividir ambas magnitudes, se obtiene una proporción de las unidades que deben ser recorridas en "y" por cada unidad recorrida en "x". Cabe aclarar que no importa el orden en el cual se resten "y2" y "y1" o "x2" y "x1", el resultado siempre será 

Con lo que hemos aprendido hasta ahora, ya estamos listos para definir la ecuación de un recta cualquiera, y lo haremos utilizando una variación de la ecuación anterior. 

Para poder definir la ecuación de una linea recta, las variables "y" y "x" deben quedarse tal como están, mientras que las variables "x1" y "y1" deben ser sustituidas por cualquiera de los puntos existentes en la linea recta. La variable "m" representa la pendiente de la recta. 

Con el objetivo de aplicar todo el conocimiento que hemos acumulado hasta ahora, procederemos a resolver un pequeño problema. Definiremos la ecuación de la recta que pasa por los puntos (5 , 4) y (-3 , 2).

Solución. 

Lo primero por hacer es definir la pendiente que describe a una recta que pasa por ambos puntos

El siguiente paso es construir la ecuación de la recta, lo cual se lleva a cabo de la manera siguiente. Para ello, podemos usar cualquiera de los dos puntos iniciales proporcionados por el problema, para nuestro problema utilizaremos el punto (5 , 4), obteniendo 

Observa que el numero que acompaña a la variable "x" siempre es numéricamente igual al valor de la pendiente, mientras que el valor de la constante, en este caso 11/4, es el punto donde la recta toca el eje de las "y". 

Representación gráfica de la ecuación y=(1/4) x + 11/4

   

¿Como definimos la distancia entre dos puntos en el plano? En realidad es un asunto bastante sencillo si seguimos la siguiente formula 

Observa que esta formula proviene del teorema de Pitágoras, el cual dice que la raíz cuadrada de la sumatoria de los cuadrados de los catetos es igual a la hipotenusa. En la ecuación anterior x2-x1 representa el largo de uno de los catetos, mientras que y2-y1 representa el largo del cateto restante, por lo tanto se puede suponer que la distancia entre los 2 puntos es igual a la hipotenusa del triángulo. Así, la distancia entre los puntos del problema anterior quedaría de la siguiente manera

Toma en cuenta que las proporciones del problema anterior no solo son aplicables a problemas de distancia, sino que también pueden representar las componentes de la fuerza aplicada sobre una partícula, solo por dar un ejemplo. Las aplicaciones para esta clase de modelos son variadas. En la representación anterior obtuvimos que la distancia entre los dos puntos planteados es de 8.24 unidades.

Todo esto suena fabuloso, sin embargo, es posible que te estes preguntando ¿Cual es su utilidad? 

En esta entrada solo hemos sentado las bases sobre el trabajo en planos bidimensionales, en entradas posteriores aprenderemos más sobre el uso y las aplicaciones de los vectores tanto en dos dimensiones como en tres dimensiones. Tendrás que esperar un poco para llegar a dichas entradas.

Ejemplo de solución de un sistema de ecuaciones por el método de Gauss simple.

El día de hoy les explicaré un poco acerca del método de solución de un sistema de ecuaciones a través del método de Gauss simple, este método simplifica y sistematiza el proceso de solución de un sistema de ecuaciones de cualquier tamaño a través del uso de matrices, convirtiendo el proceso de solución de un sistema de ecuaciones en algo, más que difícil, laborioso. Por lo anterior este método es muy utilizado en el campo de la programación (Si deseas implementar el código en MATLAB, visita nuestra entrada en donde te proporciono dicho código).

Uno de los principales problemas que se encuentran al intentar resolver un sistema de ecuaciones a través de matrices es la division entre cero, cuando eso pasa el sistema colapsa. El presente método es incapaz de resolver dicho problema, por lo cual se le llama método de Gauss "simple". Existen otros métodos capaces de resolver dicho problema, los cuales, probablemente, serán abordados en futuras entradas. 

Para empezar, es necesario explicar una propiedad fundamental de las matrices y, en realidad, en cierta forma, también de los sistemas de ecuaciones. La regla dice

- Cualquier fila de la matriz puede ser reemplazada por el resultado de restar, o sumar, a la misma una operación con características similares. Tomemos en cuenta la siguiente matriz. 

NOTA: Observa que el primer numero que acompaña al coeficiente "a" se refiere al número de fila, mientras que el segundo se refiere al número de columna. Así el subíndice a11 se refiere a un número que se encuentra en la primera fila y la primera columna. 

Ahora, restemos a la ecuación de la fila 1 la ecuación de la fila 2. El nuevo sistema de ecuaciones quedaría como sigue. Nota que ambos sistemas de ecuaciones son equivalentes.

El principio anteriormente expuesto puede ser utilizado para que el sistema de ecuaciones sea mucho más sencillo de resolver, y, de hecho, es el mismo principio utilizado por el método de Gauss simple. 

El método se lleva a cabo de la siguiente manera.  Consideremos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

 El objetivo de del método es reducir el conjunto de ecuaciones a un sistema triangular, para lograrlo debemos multiplicar la ecuación 1 por (a21/a11), para obtener

El siguiente paso consiste en restar la ecuación que acabamos de obtener a la ecuación número dos. Se obtiene lo siguiente 

Un vez hecho lo anterior, es fácil despejar el valor de x2.

Con el valor de x2, posteriormente se debe sustituir en la ecuación uno y despejar para obtener le valor de x1. 

El anterior parece un proceso bastante rebuscado solamente para obtener los valores de un sistema de dos ecuaciones, sin embargo, el valor de este método recae, como veremos a continuación, sobre su capacidad de resolver sistemas grandes sistemas de ecuaciones.

Ejemplo de solución de un sistema de cuatro ecuaciones.

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones.

Por comodidad, representaré el mismo sistema de ecuaciones en forma de una matriz, obteniendo lo siguiente.

Con el objetivo de eliminar la primera variable, debemos multiplicar la primera ecuación por el equivalente a (a21/a11), en este caso corresponde a  (2/1) = 2. Usar una matriz nos permite llevar a cabo el procedimiento por partes, por ejemplo, el primer numero de la primera ecuación es 1, el cual se convierte en 2 al multiplicarlo por (a21/a11), restamos el 2 que acabamos de obtener al primer 2 de la segunda ecuación, lo cual da cero, por lo tanto reemplazaremos el dos por un cero. Para el segundo numero de la ecuación 2, (a21/a11) debe multiplicarse por el segundo numero de la ecuación uno, el resultado es 2, dicho resultado se resta al segundo numero de la ecuación dos (1-2 = -1), por lo que reemplazaremos el 1 por -1. Si continuamos con el resto de la ecuación, el nuevo sistema quedaría como sigue. 

Nuestro objetivo principal es cambiar todos los números de la primera columna de la matriz, excepto los de la primera fila, por cero, para lograrlo aplicaremos el mismo procedimiento que aplicamos anteriormente, pero en lugar de multiplicar los números de la ecuación uno por (a21/a11) lo haremos por (a31/a11). Así obtenemos lo siguiente 

Aplicamos exactamente el mismo procedimiento que el anterior con la ecuación número 4, pero esta vez multiplicamos la ecuación 1 por el equivalente a (a41/a11), obteniendo lo siguiente.

Hemos logrado eliminar la primera columna, lo que haremos a continuación es aplicar el mismo procedimiento que recién hemos realizado, pero esta vez trataremos a la ecuación numero dos como si esta fuera la ecuación numero uno, convertiremos a cero todos los números de la columna número 2 que se encuentren por debajo de la ecuación 2.

En este caso tuvimos la suerte de que en la ultima ecuación, el valor del tercer número fue de cero, si no hubiera sido así habríamos aplicado exactamente el mismo procedimiento que ya conocemos, pero habríamos tomado a la ecuación número 3 como si fuera la ecuación numero uno. 

Nota que el sistema resultante es notablemente fácil de resolver, pues la ultima fila de la matriz equivale a tener la siguiente expresión

De ahí es fácil despejar el valor de x4.

De aquí en adelante lo único que se debe hacer es sustituir el valor de x4 en la ecuación tres y despejar para obtener el valor de x3.  Se hace lo propio con las ecuaciones dos y uno, quedando lo siguiente.

Lo resultados finales son los siguientes. Como lo mencionamos antes, lo ideal es llevar a cabo el procedimiento a través de un lenguaje informático, de lo contrario puede ser algo laborioso. 

Si quieres implementar el código en MATLAB, el código necesario lo encontrarás en la pestaña "Métodos numéricos en MATLAB".