Ecuaciones diferenciales, el método de variación de parámetros (ejercicio resuelto).

El método de variación de parámetros se utiliza para dar solución únicamente a ecuaciones diferenciales de primer orden (si no sabes como clasificar una ecuación diferencial, visita nuestra entrada en la sección de calculo y matemáticas), este método, además, solo es aplicable a ecuaciones homogéneas, esto significa que solo es aplicable a ecuaciones diferenciales que están igualadas a cero, lo anterior no es una limitante para el método, pues aún si la ecuación no está igualada a cero, es posible hacer el procedimiento mediante algunos arreglos matemáticos.

El modelo general para las ecuaciones en las que se puede aplicar el método es el siguiente 

Cualquier termino de "y" que pudiera estar a la derecha de la igualdad debe ser enviado hacia la izquierda para poder aplicar el método. 

No hay mejor manera de entender un método que a través de su ejemplificación, así que resolveremos la siguiente ecuación mediante el método que aquí intentamos explicar. 

1.- El primer paso del proceso es verificar si la ecuación diferencial es homogénea, en nuestro caso no lo es, por lo tanto deberemos llevar a cabo un proceso denominado homogeneización, el cual consiste, simplemente en sustituir el lado derecho de la igualdad por cero, la ecuación queda como sigue. Si la ecuación ya es homogénea, simplemente se procede al método de integración directa.

2.- La siguiente parte del proceso es aplicar el método de integración directa en la ecuación, lo cual simplemente consiste en despejar la ecuación de manera que las variables "x" y "y" queden el lados contrarios de la igualdad (el método de integración directa se explica en la entrada "Ecuaciones diferenciales"), posteriormente se integra ambos lados de la ecuación, tal como se muestra a continuación.

Nota: Recuerda que -2 ln x= ln (x)^-2, por lo tanto...

3.- El siguiente paso es despejar la ecuación directamente a la variable "y", en este caso cada lado de la ecuación se convierte en el exponente del numero de Euler, con el objetivo de eliminar el logaritmo natural de la parte izquierda. Recuerda que si realizas un cambio en igual en ambos lados de una ecuación, esta permanece inalterada.

A manera de recomendación, recuerda que si se eleva el numero de Euler a la potencia de una constante, se puede considerar que el numero resultante también será una constante, por lo tanto...

Considerando lo anterior, nuestra ecuación quedaría como sigue

Al hacer un pequeño arreglo matemático, la ecuación queda de la siguiente manera

El siguiente paso del procedimiento es muy importante, ya que se debe hacer una proposición, lo cual solamente significa que realizaremos un cambio de variable, o bien, como el nombre del procedimiento lo indica, una variación de parámetros, esto no implica ningún cambio en los valores. Se realiza con el objetivo marcar la diferencia entre los valores que hemos usado hasta ahora, y los que usaremos en los siguientes pasos, en el paso 6 observaras la razón de este cambio. Lo único que debemos hacer es cambiar la variable "c" por la variable "u". La ecuación queda de la manera siguiente

4.- El siguiente paso puede parecer un tanto confuso, pero intentaremos explicarlo de la mejor manera. Una vez que obtuvimos el valor de y, se procede a derivarlo, lo anterior se lleva a cabo debido a que, como se verá en los siguientes pasos, nuestra intención es sustituir los términos de la ecuación uno, por lo tanto, si en la ecuación uno tenemos una derivada, debemos sustituirlo por un valor equivalente, es decir, otra derivada. En el siguiente paso veremos cual es el objetivo de dicha derivación.

Nota: Observa que en las partes en las que se deriva la constante "u", simplemente se agrega el termino u'. Al hacer algunos arreglos matemáticos a la ecuación anterior, la derivada queda como se muestra a continuación.

Se hace la suma de fracciones y se continúan los arreglos.

5.- Una vez que tienen los valores tanto de y como de y', se procede a sustituirlos en la ecuación número uno, lo cual da como resultado la siguiente ecuación 

Al realizar la operación anterior, obtenemos lo siguiente 

- El proceso anterior es muy importante, se deben eliminar todos los términos de "u" quedando solo el termino de " u' ", si esta eliminación no toma lugar significa que hubo un error en el procedimiento, o que la ecuación diferencial no es de primer orden.

El resto del procedimiento es bastante sencillo, se debe despejar el termino " u' ", y se procede a integrar ambos lados de la ecuación, con el objetivo de obtener el valor de "u".

Nota: La constante de integración debe ser ignorada en esta parte del procedimiento 

6.- El siguiente y ultimo paso del proceso consiste en sustituir el valor recién encontrado de "u" en la ultima ecuación que definimos durante el paso número 3, quedando de la siguiente manera.

El valor final de la variable "y", el objetivo del procedimiento, quedaría como se muestra a continuación.

Si deseas saber más sobre las ecuaciones diferenciales, visita nuestra entrada del mismo nombre en la sección "Calculo y matemáticas". 

Método de Gauss-Jordan en MATLAB, solución de sistemas de ecuaciones lineales

Este código te permitirá resolver un sistema de ecuaciones lineales de cualquier tamaño, para comenzar, debes crear un Script en el cual debes vaciar el siguiente código.

%Programa principal, este es el único script que debes correr
A=[1,1,0,3;2,1,-1,1;3,-1,-1,2;-1,2,3,-1]; %Los datos que contiene representan una matriz de 4x4, debes sustituirlos por tus datos propios
B=[4,1,-3,4]'; %Los datos que contiene representan una matriz de 4x1, debes sustituirlos por tus datos propios
x=EliminacionGaussiana(A,B)

Importante: 
A: representa la parte "izquierda" del sistema de ecuaciones, es decir, solo debes añadir los valores que se encuentran antes del signo = para cada ecuación, recuerda que este sistema trabaja en forma matricial. B representa una matriz vertical la cual contiene los resultados de cada una de las ecuaciones, recuerda que el apostrofe que se encuentra despues del ultimo corchete en B, le indica a MATLAB que la matriz es vertical, por lo tanto es muy importante no removerlo.

Posteriormente debes crear un nuevo Script, en el cual se deberá vaciar el siguiente código.

function x=EliminacionGaussiana(A,B)
% A es una matriz de orden NxN
% B es una matriz de orden Nx1
% x es una matraz de orden Nx1 que contiene la solucion de Ax=B
%Scienceprocedures.blogspot.mx
[N N]=size(A);
x=zeros(N,1);
C=zeros (1,N+1);
Aug=[A B];
for q= 1:(N-1)
    [Y,j]=max(abs(Aug(q:N,q)));
    C=Aug(q,:);
    Aug(q,:)=Aug(j+q-1,:);
    Aug(j+q-1,:)=C;
    if Aug(q,q)==0
        'El valor de A es irregular. No hay solucion o no es unica';
        break
    end 
    for k=q+1:N
        m=Aug(k,q)/Aug(q,q);
        Aug(k,q:N+1)=Aug(k,q:N+1)-m*(Aug(q,q:N+1));
    end
    
end
x=resource(Aug(1:N,1:N),Aug(1:N,N+1));
end 

Para continuar, debes crear un tercer Script con el código que se muestra a continuación.

function x=resource(A,B)
n=length(B);
x=zeros(n,1); x(n)=B(n)/A(n,n);
for k=n-1:-1:1
    x(k)=(B(k)-A(k,k+1:n)*x(k+1:n))/A(k,k);
end 


Consideraciones: Recuerda que debes guardar los tres script en la misma carpeta, de lo contrario no correrán adecuadamente.
El programa principal contiene los datos para resolver un sistema de 4 ecuaciones con cuatro incógnitas a manera de ejemplo para el usuario.

Métodos numéricos, ejemplo del método de interpolación lineal.

El problema consiste en encontrar la mejor recta que aproxime a un conjunto de puntos. A continuación se explicará el método y se realizará un ejemplo para mejorar la comprensión del tema.

Primeramente, debemos recordar la ecuación que describe la distancia entre 2 puntos en un plano.

 El método de aproximación hace uso de una variación de la ecuación anterior.

Para poder definir la ecuación de la recta que mejor aproxima a los puntos, debemos conocer los valores de las variables "m" y "b", que serán sustituidos en la siguiente ecuación (la ecuación general de una linea recta). 

Nota: Ambas ecuaciones son iguales, en el ejemplo que se desarrolla más adelante se utilizará la variable "a" en lugar de "m", debes tener muy claro que ambas variables representan la pendiente de la recta, lo único que se hace es cambiar el nombre de la variable. 

Para encontrar los valores desconocidos de "a" y "b", haremos uso de derivadas parciales, esto con el objetivo de obtener un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, de otra manera sería imposible obtener el valor de dos variables desconocidas con una sola ecuación. El sistema se obtiene de la siguiente manera. 

Acomodando los términos, el sistema de ecuaciones queda de la siguiente manera. 

Nota: Te podrías estar preguntando ¿Que le pasó a ese número 2 que estaba en el sistema anterior? 

Observa que, si se despeja cada ecuación, el dos sería enviado al otro lado para dividir al cero, quedando 0/2, recuerda que el resultado de dividir cero entre cualquier otro número es siempre igual a cero. 

Despejando el anterior sistema de ecuaciones, es posible encontrar los valores de a y b. Seguramente hasta ahora no queda lo suficientemente claro el procedimiento, así que la mejor manera de hacer este procedimiento más fácil de entender, es a través de un ejemplo. 

Ejemplo

Propondremos los siguientes cinco puntos, para los cuales deberemos obtener la recta que mejor los describa, a continuación se muestran los puntos y una gráfica de los mismos. (Si quieres implementar el método en MATLAB, visita la siguiente entrada

http://scienceprocedures.blogspot.mx/2015/11/metodos-numericos-el-metodo-de.html)

X= [1,4,5,7,9]

Y=[2,4,6,7,10]

A partir de ahora, separaremos cada una de las ecuaciones anteriores para que la solución del problema sea más sencilla y didáctica. Comenzaremos con la primera ecuación, separandola en partes más pequeñas.

Al sustituir los valores de "x" y "y" para cada "s", las ecuaciones quedan como se muestra a continuación.

A continuación repetiremos el proceso anterior con la segunda ecuación.

Al sustituir los valores de "x" y "y" para cada "s", las ecuaciones quedan como se muestra a continuación.

Ahora, volveremos a escribir las ecuaciones 1 y 2 en los términos de "s" y "z" que acabamos de obtener.

Al sustituir cada valor, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones.

Ahora es posible encontrar los valores de "a" y "b" para completar la ecuación de la recta que mejor se acerca a nuestros puntos. A continuación se resolverá el sistema de ecuaciones 

Con la información recién obtenida, obtenemos que la ecuación que describe la recta que mejor se acerca a los puntos propuestos es:

Nota que el valor de 0.9837 corresponde a la pendiente de la recta.

A continuación se muestra la gráfica de nuestros puntos propuestos junto con la gráfica de la recta encontrada,

X= [1,4,5,7,9]

Y=[2,4,6,7,10]

y=0.9837x+0.6848

Si quieres implementar el método en MATLAB, visita la siguiente entrada

http://cienciaparacualquiera.blogspot.mx/2015/11/metodos-numericos-el-metodo-de.html