Ecuaciones diferenciales, el método de variación de parámetros (ejercicio resuelto).

El método de variación de parámetros se utiliza para dar solución únicamente a ecuaciones diferenciales de primer orden (si no sabes como clasificar una ecuación diferencial, visita nuestra entrada en la sección de calculo y matemáticas), este método, además, solo es aplicable a ecuaciones homogéneas, esto significa que solo es aplicable a ecuaciones diferenciales que están igualadas a cero, lo anterior no es una limitante para el método, pues aún si la ecuación no está igualada a cero, es posible hacer el procedimiento mediante algunos arreglos matemáticos.

El modelo general para las ecuaciones en las que se puede aplicar el método es el siguiente 

Cualquier termino de "y" que pudiera estar a la derecha de la igualdad debe ser enviado hacia la izquierda para poder aplicar el método. 

No hay mejor manera de entender un método que a través de su ejemplificación, así que resolveremos la siguiente ecuación mediante el método que aquí intentamos explicar. 

1.- El primer paso del proceso es verificar si la ecuación diferencial es homogénea, en nuestro caso no lo es, por lo tanto deberemos llevar a cabo un proceso denominado homogeneización, el cual consiste, simplemente en sustituir el lado derecho de la igualdad por cero, la ecuación queda como sigue. Si la ecuación ya es homogénea, simplemente se procede al método de integración directa.

2.- La siguiente parte del proceso es aplicar el método de integración directa en la ecuación, lo cual simplemente consiste en despejar la ecuación de manera que las variables "x" y "y" queden el lados contrarios de la igualdad (el método de integración directa se explica en la entrada "Ecuaciones diferenciales"), posteriormente se integra ambos lados de la ecuación, tal como se muestra a continuación.

Nota: Recuerda que -2 ln x= ln (x)^-2, por lo tanto...

3.- El siguiente paso es despejar la ecuación directamente a la variable "y", en este caso cada lado de la ecuación se convierte en el exponente del numero de Euler, con el objetivo de eliminar el logaritmo natural de la parte izquierda. Recuerda que si realizas un cambio en igual en ambos lados de una ecuación, esta permanece inalterada.

A manera de recomendación, recuerda que si se eleva el numero de Euler a la potencia de una constante, se puede considerar que el numero resultante también será una constante, por lo tanto...

Considerando lo anterior, nuestra ecuación quedaría como sigue

Al hacer un pequeño arreglo matemático, la ecuación queda de la siguiente manera

El siguiente paso del procedimiento es muy importante, ya que se debe hacer una proposición, lo cual solamente significa que realizaremos un cambio de variable, o bien, como el nombre del procedimiento lo indica, una variación de parámetros, esto no implica ningún cambio en los valores. Se realiza con el objetivo marcar la diferencia entre los valores que hemos usado hasta ahora, y los que usaremos en los siguientes pasos, en el paso 6 observaras la razón de este cambio. Lo único que debemos hacer es cambiar la variable "c" por la variable "u". La ecuación queda de la manera siguiente

4.- El siguiente paso puede parecer un tanto confuso, pero intentaremos explicarlo de la mejor manera. Una vez que obtuvimos el valor de y, se procede a derivarlo, lo anterior se lleva a cabo debido a que, como se verá en los siguientes pasos, nuestra intención es sustituir los términos de la ecuación uno, por lo tanto, si en la ecuación uno tenemos una derivada, debemos sustituirlo por un valor equivalente, es decir, otra derivada. En el siguiente paso veremos cual es el objetivo de dicha derivación.

Nota: Observa que en las partes en las que se deriva la constante "u", simplemente se agrega el termino u'. Al hacer algunos arreglos matemáticos a la ecuación anterior, la derivada queda como se muestra a continuación.

Se hace la suma de fracciones y se continúan los arreglos.

5.- Una vez que tienen los valores tanto de y como de y', se procede a sustituirlos en la ecuación número uno, lo cual da como resultado la siguiente ecuación 

Al realizar la operación anterior, obtenemos lo siguiente 

- El proceso anterior es muy importante, se deben eliminar todos los términos de "u" quedando solo el termino de " u' ", si esta eliminación no toma lugar significa que hubo un error en el procedimiento, o que la ecuación diferencial no es de primer orden.

El resto del procedimiento es bastante sencillo, se debe despejar el termino " u' ", y se procede a integrar ambos lados de la ecuación, con el objetivo de obtener el valor de "u".

Nota: La constante de integración debe ser ignorada en esta parte del procedimiento 

6.- El siguiente y ultimo paso del proceso consiste en sustituir el valor recién encontrado de "u" en la ultima ecuación que definimos durante el paso número 3, quedando de la siguiente manera.

El valor final de la variable "y", el objetivo del procedimiento, quedaría como se muestra a continuación.

Si deseas saber más sobre las ecuaciones diferenciales, visita nuestra entrada del mismo nombre en la sección "Calculo y matemáticas". 

Implementación del método de Euler en MATLAB

Para implementar el método de Euler para ecuaciones diferenciales, se debe crear un script en MATLAB en el cual se deberá vaciar el siguiente código.

function Z=meteuler(n,a,b,y0,x0,P)
Z=0
h=(b-a)/n;
x=zeros(1,n+1)
y=zeros(1,n+1)
x(1)=x0;
y(1)=y0;
x=a:h:b
for i=1:n
y(i+1)=y(i)+h*((P(x(i),y(i))))
end;
Z=[x' y']
plot(x,y,'r')
grid on
hold on
plot (x, P(x,y),'b')
L=P(x,y)
hold on
%plot (1.1,P(1.1,y(1.1)),'*k')
%Cienciaparacualquiera.blogspot.mx
%plot (x,P(x,y))
title('grafica solucion, azul= derivada, rojo=Ec. original')
%Blue plot= Derivative.
%Red plot= Original equation.


Para continuar, el siguiente programa debe ser desarrollado en un nuevo script

%programa principal Euler
%Cienciaparacualquiera.blogspot.mx
%a=intervalo inferior (Lower interval)
%b=intervalo superior (Upper interval)
%n= numero de iteraciones ( number of iterations)
%x0= primer valor de x (es igual al valor de a) (First value of x, which is equal to "a")
%y0= valor de y cuando x=0 (Initial condition for y)
a=0
b=1
n=10
x0=a
h=0.1
x=(0:h:1)
y0=0
P=@(x,y)(cos(x));
Z=meteuler(n,a,b,y0,x0,P,h)
hold on

Importante

• El usuario debe vaciar los datos necesarios en el programa principal.
• El programa principal contiene los datos para graficar la ecuación diferencial y'=cos(x), la cual se muestra de color azul, mientras que la ecuación original (solución) se muestra de color rojo, los datos pueden ser sustituidos de la manera que el usuario disponga.
• Es importante tomar en cuenta que el método de Euler no ofrece una solución para una ecuación diferencial, es decir, no es posible encontrar la ecuación original a través de este método, sin embargo, este método nos ofrece una buena aproximación de la gráfica de la función original. 
• Recuerda guardar ambos scripts en la misma carpeta, de lo contrario MATLAB no podrá llevar a cabo el procedimiento y arrojara un error. 

Si quieres comprender más acerca de las ecuaciones diferenciales, revisa la siguiente entrada 

http://cienciaparacualquiera.blogspot.mx/2015/10/ecuaciones-diferenciales.html

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Ecuaciones Diferenciales

A veces al escuchar el término “ecuación diferencial” se piensa, erróneamente, que se trata de términos matemáticos demasiado especializados, hoy les explicaré lo que es una ecuación diferencial, así como el método más básico para resolver las ecuaciones diferenciales, el método de integración directa.

Para comenzar ¿Qué es una ecuación diferencial?

Una ecuación diferencial es toda ecuación que contiene derivadas. Una derivada es una función que describe el cambio en la pendiente de otra función.

Clasificación de las ecuaciones diferenciales.

Hay una serie de características a través de las cuales se puede clasificar una ecuación diferencial.

·        Por tipo. Existen 2 tipos de ecuaciones diferenciales.

-      Ecuaciones diferenciales ordinarias: La ecuación diferencial contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente.

-      Ecuaciones diferenciales no ordinarias: La ecuación diferencial contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a dos o más variables independientes.

·        Por orden. El orden de una ecuación diferencial se refiere a la derivada de mayor orden contenida en la ecuación.

• Es una ecuación diferencial de primer orden. 

•   Es una ecuación diferencial de segundo orden, nota que la expresiónes equivalente a y'', se refiere a la segunda derivada de una ecuación que tiene solo una variable independiente. Por lo tanto, si la derivada de mayor orden en una ecuación es  y'', la ecuación será de segundo orden, si la mayor es  y''', la ecuación será de tercer orden, y así sucesivamente. 

Para implementar el método de Euler para ecuaciones diferenciales en MATLAB, visita la siguiente entrada
http://cienciaparacualquiera.blogspot.mx/2015/11/implementacion-del-metodo-de-euler-en.html

·        Por grado. El grado de una ecuación diferencial se refiere a la potencia a la que está elevada la derivada de mayor orden. El grado de una ecuación diferencial se puede describir de 2 maneras.

-      Ecuaciones diferenciales lineales:

o   La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado, es decir, con exponente uno.

o   Cada coeficiente de "y" depende solamente de la variable independiente x.

-      Ecuaciones diferenciales no lineales: Son las ecuaciones que no cumplen con las características del punto anterior.

Ecuación diferencial lineal.

y y’’+ (x^2) * y= x      La ecuación no es lineal debido a que el coeficiente de una de las derivadas depende, a su vez, de la variable dependiente “y”.    

Todo lo anterior parece muy rebuscado, sin embargo carece de importancia real una vez que se ha adquirido la suficiente práctica en los métodos de solución.

Método de integración directa

El método más sencillo para resolver una ecuación diferencial es el método de integración directa, el cual solo puede ser utilizado para resolver las ecuaciones diferenciales de variables separables. Nota que el proceso de integración es el inverso que el proceso de derivación, por lo tanto el resultado de integrar una derivada es la función original.

Una ecuación diferencial de variables separables tiene la siguiente forma

La ecuación puede ser resuelta al integrar cada término de la ecuación.

∫f(x)dx+∫g(y)dy=0

Probemos la teoría resolviendo la siguiente ecuación diferencial.

-      Lo primero que se debe hacer ante una ecuación de este tipo es despejar las variables “y” y “x”, de manera que queden en lados opuestos de la igualdad.

Nota= recuerda que 1/e^x =e^(-x)

-      Una vez hecho eso, se integra cada una de las partes

                                                       

Integral por partes x=u     dv= e^(-x)     

-      Una vez hecho el proceso de integración, la ecuación queda de la siguiente manera.

La siguiente se denomina como "solución general en la forma implícita", debido a que la ecuación no está despejada a la variable y.

Solución general en la forma explícita.

Para encontrar el valor de la constante de integración es necesario plantear las condiciones iniciales del problema, para nuestro ejemplo las plantearemos de forma arbitraria.

-      Cuando x= 0    y=1, lo cual es igual a decir y(0)=1

Si se sustituyen los valores se obtiene la siguiente expresión.

Al despejar lo anterior se obtiene que

El valor del número de Euler es aproximadamente 2.71, por lo tanto.

Así, la solución para la ecuación diferencial queda de la siguiente manera

Sustituyendo con el recién encontrado valor de y, nuestra ecuación inicial quedará de la siguiente manera.

Dicha ecuación ahora estará disponible para cualquier uso que dispongamos.